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Donc, les paroles iront sur les nombres infinitésimaux. Quel nombre il faut appeler infinitésimal ? Nous supposerons que ce nombre positif, si lui moins de tous nombres positifs. Il est facile de comprendre que d'un tel il n'arrive pas : s'il y a plus de zéro, il est un des nombres positifs, c'est pourquoi notre définition demande que le nombre soit moins lui-même. C'est pourquoi nous demanderons que soit le plus petit dans la multitude de nombres positifs. Sur l'axe numérique un tel doit être représenté par le plus gauche point de la multitude. Malheureusement le nombre avec les propriétés indiquées est absent aussi et ne peut pas être : le nombre sera le nombre positif, plus petit.

L'exemple la Construction de la quantité infinie. Chaque nombre réel, satisfaisant à l'inégalité, nous décomposons à la fraction infinie binaire; pour la garantie de la monodromie nous interdisons les décompositions avec le nombre infini des unités allant de suite. Nous fixons un infiniment grand nombre arbitraire naturel et est pris ces nombres réels, près de qui - l'ÈME membre de la décomposition est égal à l'unité; la multitude de tous nombres réels pris ainsi incommensurablement selon Lebegou.

Nous marquerons que le nombre standard 0 est aussi, selon cette définition, infinitésimal. Mais tous les autres nombres infinitésimaux ne peuvent pas par les standard. Cela suit de ce que pour les nombres standard est juste l'axiome d'Archiméde.

Ainsi, si le nombre infinitésimal, le nombre est infiniment grand dans ce sens que lui plus de chacun des nombres : 1, 1+1, 1+1+1, 1+1+1+1 etc. de dit on peut voir que l'existence infinitésimal contredit un soi-disant axiome d'Archiméde, qui affirme que n'importe quels deux segments Et et à peuvent remettre plus petit d'eux (tant de fois pour recevoir au total le segment surpassant sur la longueur le segment (.

. sur les hypernombres réels on pouvait accomplir les opérations ordinaires : il faut savoir n'importe quels deux hypernombres réels mettre, multiplier, soustraire et diviser, et en outre de manière que l'on accomplissait les propriétés ordinaires de l'addition et la multiplication. En outre il faut savoir comparer les hypernombres réels par la valeur, i.e. décider quel d'eux plus.

L'analyse non standard resterait un cas curieux curieux, si sa seule application était l'argumentation des raisonnements des classiques de l'analyse mathématique. Il s'est trouvé utile et au développement des nouvelles théories mathématiques. On peut comparer l'analyse non standard au pont lancé par la rivière. La construction du pont n'élargit pas le territoire accessible à nous, mais réduit la voie d'un bord de l'autre. Ainsi l'analyse non standard fait les preuves de plusieurs théorèmes plus court.

La définition plus exacte infini les nombres> 0, qui nous utiliserons est telle. Nous mettrons le nombre avec eux-mêmes, en recevant les nombres + et etc. si tous les nombres reçus se trouvent moins 1, le nombre et s'appellera infinitésimal. En d'autres termes, si infinitésimal, ne remets pas combien de fois le segment de la longueur le long du segment de la longueur 1, à la fin tu n'arriveras pas. On peut recopier notre exigence vers infinitésimal sous une telle forme

Avant tout, nous recevons l'élargissement non archimédien du champ des nombres réels. En outre on met à “chaque objet du monde standard” à la conformité son analogue dans “le monde non standard”. Notamment l'analogue non standard de n'importe quel nombre réel est lui-même, il; Et les multitudes R la sous-multitude * les multitudes *R correspond à n'importe quelle sous-multitude, f de R à R la fonction *f de *R à *R correspond à chaque fonction, g de R à R la fonction *g de *R à *R et etc. Certainement, ces analogues *A, *f correspond à chaque fonction biplace, *g ne sont pas arbitraires, et doivent posséder certaines propriétés spéciales : ainsi, *, sur les nombres réels f et *f coïncident, de sorte que *f est la suite pour f, et *g - la suite pour g. Est De plus accompli un soi-disant principe du transfert affirmant grosso modo que les analogues hypervalables des objets standard possèdent les mêmes propriétés que les objets initiaux standard.